League of Legends [Actualités], le 10/08/2012 16:02:46

LoL : Système d'elo, Partie 1

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Arniw vous décrit dans une série d'article le fonctionnement du système de l'elo dans LoL.

Comme vous le savez sans doute, il existe un mystère dans League of legend ; l'elo. Certains trouvent le système bien fait, d'autres pensent qu’il est inutile, mal fait, non adapté ou autres qualificatifs dont je ne ferais pas une liste exhaustive, sinon j'y serais encore dans une décennie quand lol n'existera plus.


Si cet article parait aujourd'hui c’est pour une très bonne raison. Je vais dans un premier temps m'intéresser au système en lui même. La première partie de cette suite d'articles sera la plus théorique, néanmoins la plus intéressante à lire si vous prenez le temps de la comprendre en profondeur.


Nous allons étudier en détail ce système de classement, pour enfin arriver dans un futur proche à une compréhension totale de ce système, autant du point de vue mathématique que stratégique.

Utilisant des règles mathématiques, j'ai essayé de rendre cette explication la plus simple possible à comprendre.

Utilisation :

Le système d'elo fut également adapté à de nombreux jeux sous différents noms. La côte d'arène de World of Warcraft par exemple utilise ce système, avec un facteur 2,27 pour faciliter aux développeurs les calculs pour différents objets requérant une certaine côte. Starcraft utilise également pour son classement le système d'elo pour base. Finissons par LoL qui se base également sur ce système pour classer le niveau individuel des joueurs.

Histoire :

Petit rappel historique nécessaire pour la suite des explications. Le système d'elo fut inventé dans les années 60 et fut ensuite, pour la première fois, utilisé afin de classer mondialement les joueurs d'échecs en 1970. C’est le professeur de physique Arpad Elo qui l'inventa. Ce système devait permettre d'établir un classement de tous les joueurs d'échecs entre eux, même ceux ne s'étant jamais rencontrés lors de matchs. Il est basé sur ce qui s'appelle la « force relative des joueurs », autrement dit leurs chances de gagner l'un contre l'autre sans ne s'être jamais rencontré.


Pour faire simple, un joueur nommé « X » a gagné 10 matchs sur 15 contre un joueur « Y ». Ce même joueur « Y » ayant gagné 8 parties sur 10 contre un troisième et dernier joueur « Z », combien de chance le joueur « X » a de gagner un match contre « Z » ? En théorie, cela est très simple à réaliser à l'aide de simples probabilités. Mais il restait ensuite la partie la plus compliquée, à savoir établir un tableau des scores permettant de connaître le niveau de tous les joueurs entre eux. Je passerais sur les différents calculs de probabilité qui ne sont en aucun cas intéressants. Une fois ces calculs établis et le système de points (elo) mis en place il fallait également faire le chemin en sens inverse, à savoir, si un joueur à 1500 elo rencontre un joueur à 1200 elo, combien ce joueur avait-il en pourcentage de chance de gagner. Plusieurs exemples seront utilisés tout au long de cette explication. Arpad Elo mit au point un système ingénieux permettant de faire ce calcul.

Application théorique de calcul de la probabilité (p) de gagner du joueur « x » contre le joueur « Z » et système d'elo :

Pour cela on utilise une règle mathématique simple de probabilité que je n'expliquerais pas car trop longue. (Prenez cette règle et toutes les suivantes pour exactes s'il vous plait.)

Toutes les lettres présentes dans les équations représentent des variables, c’est-à-dire des valeurs numériques pouvant varier d'un cas à un autre.

Q = P (X/Y) la probabilité de gagner du joueur X contre le joueur Y.
R = P (Y/Z) la probabilité de gagner du joueur Y contre le joueur Z.
S = P (X/Z) la probabilité de gain (selon la théorie de l’elo) du joueur X contre le joueur Z, de façon à ce qu'on obtienne cette équation :

(S / (1 – S)) = (Q /  (1 – Q)) x (R / (1- R))

Cette équation représente donc la force relative F entre deux joueurs. La probabilité de gain du joueur X contre le joueur Z est donc égale à la multiplication des forces intermédiaires de gain entre le joueur X et Y, et Y contre Z.

Si l'on se rapporte à une fonction « f » (courbe) de l'évolution des forces de tous les joueurs, on obtient donc :

f(R) = f(Q) x f(R) ou f(R) = (P / (1 – P)) et de là, nous pouvons déduire la probabilité de gain du joueur X contre le joueur Z que l'on notera : S = (f(S) / (1 + f(S)).

Cette force est une mesure, toutefois pour avoir un classement évoluant au fil des victoires de chacun, il faut passer par une deuxième fonction, que nous noterons, pour simplifier la chose, f*(S), de façon à ce qu'elle soit égale à : f*(S) = f*(Q) + f*(R).

Posons dès à présent F* (S) = t [f(S)]t est également une fonction qu'il nous reste à définir.


f*(S) = f*(Q) + f*(R) <=> t[f(S)]  =  t[f(Q)]  +  t[f(R)]
f(R) = f(Q) x f(R) => t [ f(Q) x f(R) ] = t[f(Q)]  +  t[f(R)]

Cette transformation par t en somme (résultat d'une addition) est la définition d'une fonction nommée logarithme. Plus particulièrement du logarithme décimal noté log, on choisit donc la fonction log pour définir t. Nous en déduisons donc que :

f*(S) = log[ f(S) ] = log[ S / ( 1 – S ) ].

Pour que les valeurs soient plus grandes et donc plus précises, nous introduisons un facteur fixé à 400.

La formule de l'elo est donc : f*(S) = 400 x log[S / (1 – S)]

Le réciproque p (D) de cette formule (ici, obtenir la probabilité de gain par rapport à l'elo) est donc :

log ((p(D) / (1 – p(D))) = D / 400 <=> p(D) = 1 / (1 + 10 -D/400)

Le résultat de cette fonction sera donc compris entre 0 et 1 qui, multiplié par 100, donnera le pourcentage de victoire. Cette fonction a pour résultat 0,5 si D =0


Pour calculer le nouvel elo d'un joueur après une partie, une dernière fonction est utilisée (eh oui, finis les maths après). Cette fonction que vous considérez comme vraie (puisqu’utilisée) est la suivante :

E(n)+1 = E(n) + K x (W - p(D))

E(n)+1  représente le nouvel elo après une partie.
E(n)      représente l'elo avant la dite partie.
W     est le résultat de la partie, trois valeurs possible : 1 si victoire, 0,5 pour un matche nul (ne s'applique pas à LoL) et 0 pour une défaite.
p(D) représente le résultat attendu en fonction de la différence d'elo avec son adversaire.
(W – p(D)) représente la différence entre le résultat attendu et le résultat obtenu.
K est un coefficient de développement ; dans LoL il vaut : 10 pour les 10 premières parties (matchs de placement), 7,5 pour tous les matchs en dessous des 2400elo, puis finalement 5 pour tous les matchs au-dessus de 2400elo.

À noter que dans LoL si vous avez un joueur à 1500 elo, il gagnera un nombre de points d’elo prenant en compte l'elo du joueur ayant l'elo le plus élevé dans l'équipe adverse, mais s’il perd, il perdra un nombre de points égal à l’elo moyen de l'équipe adverse.

Voilà, pour aujourd'hui c’est fini, vous connaissez désormais les secrets de l’elo dans LoL. Toutefois, je ne vous ai toujours pas démontré que vous pouviez monter et donc « carry » vos games seul, même si dans votre équipe il y a des joueurs moins doués que vous. Cependant, après une telle dose de mathématiques cela attendra la prochaine fois. Ne vous en faites pas cela arrivera très bientôt et cela sera moins compliqué que cette première partie.


Arniw

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